ХI РЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ»
Секция «Математика»
Тема
«Решение логических задач»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное
школа №2 ст. Архонская,
7 класс.
Научный руководитель
учитель математики МБОУ СОШ №2 ст. Архонская
Тримасова Н.И.
«Решение логических задач»
7 класс
учреждение средняя общеобразовательная
школа №2, ст. Архонская.
Аннотация
В данной работе рассматриваются разные способы решения логических задач и разнообразие приемов. Каждый из них имеет свою область применения. Кроме этого, в работе можно познакомиться с основными понятиями направления "математики без формул" - математической логики, узнать о создателях этой науки. Ещё можно увидеть результаты диагностики «решение логических задач среди учащихся среднего звена».
Содержание
1.Введение_____________________________________________________ 4
2.Основоположники науки «логика»_____________________________ 6
3.Как научиться решать логические задачи?______________________ _8
4. Типы и способы решения логических задач______________________ 9
4.1 Задачи типа «Кто есть кто?»_____________________________ 9
а) Метод графов___________________________________________ 9
б) Табличный способ__________________________________________ 11
4.2 Тактические задачи______________________________________ 13
а) метод рассуждений_________________________________________ 13
4.3 Задачи на нахождение пересечения или объединение множеств__________________________________________________ 14
а) Круги Эйлера_____________________________________________ 14
Буквенные ребусы и задачи со звездочками__________________ 16
4.5 Истинностные задачи_____________________________________ 17
4.6 Задачи типа «Шляпы»_____________________________________ 18
5. Практическая часть____________________________________________ 19
5.1 Исследование уровня логического мышления учащихся среднего звена_________________________________________________________ 19
6. Заключение____________________________________________________ 23
7. Литература____________________________________________________ 24
«Решение логических задач»
Крутоголова Диана Александровна
7 класс
Муниципальное бюджетное общеобразовательное
учреждение средняя общеобразовательная
школа №2, ст. Архонская.
1. Введение
Развитию творческой активности, инициативы, любознательности, смекалки способствует решение нестандартных задач. Несмотря на то, что школьный курс математики содержит большое количество интересных задач, многие полезные задачи не рассматриваются. К этим задачам можно отнести логические задачи.
Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего - половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами.
Математическая задача неизменно помогает вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В тоже время решение задач способствует развитию логического мышления.
Готовя данную работу, я ставила цель - развить свои способности умения рассуждать и делать правильные выводы. Только решение трудной, нестандартной задачи приносит радость победы. При решении логических задач предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это у меня вызывает и сохраняет интерес к математике. Логически обоснованное решение – лучший способ раскрытия творческих способностей.
Актуальность. В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.
Задачи: 1) ознакомление с понятиями «логика» и «математическая логика»; 2) изучение основных методов решения логических задач; 3) проведение диагностики на выявление уровня логического мышления учащихся 5-8 классов.
Методы исследований: сбор, изучение, обобщение экспериментального и теоретического материала
2. Основоположники науки «логика»
Логика - одна из древнейших наук. Точно установить, кто, когда и где впервые обратился к тем аспектам мышления, которые составляют предмет логики, в настоящее время не представляется возможным. Отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в Индии, в конце II тысячелетия до н. э. Однако если говорить о возникновении логики как науки, то есть о более или менее систематизированной совокупности знаний, то справедливым будет считать родиной логики великую цивилизацию Древней Греции. Именно здесь в V-IV веках до н. э. в период бурного развития демократии и связанного с ним небывалого оживления общественно-политической жизни трудами Демокрита, Сократа и Платона были заложены основы этой науки.
Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Он впервые разработал теорию дедукции, то есть теорию логического вывода. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами, структурами.
Уже тогда в Древней Греции были созданы школы, в которых люди учились дискутировать. Ученики этих школ учились искусству поиска истины и убеждения других людей в своей правоте. Они учились из множества фактов отбирать нужные, строить цепочки рассуждений, связывающие отдельные факты между собой, делать правильные выводы.
Уже с этих времен было принято считать, что логика есть наука о мышлении, а не о предметах объективной истинности.
Древнегреческий математик Евклид (330-275 гг. до н. э.) впервые предпринял попытку упорядочить накопившиеся к тому времени обширные сведения по геометрии. Он положил начало осознанию геометрии как аксиоматической теории, а всей математики - как совокупности аксиоматических теорий.
На протяжении многих веков различными философами и целыми философскими школами дополнялось, усовершенствовалась и изменялась логика Аристотеля. Это был первый, до математический, этап развития формальной логики. Второй этап связан с применением в логике математических методов, начало которому положил немецкий философ и математик Г. В. Лейбниц (1646-1716 гг.) . Он пытался построить универсальный язык, с помощью которого разрешались бы споры между людьми, а затем и вовсе все «идеи заменить вычислениями» .
Важный период становления математической логики начинается с работы английского математика и логика Джорджа Буля (1815-1864 гг.) «Математический анализ логики» (1847) и «Исследования законов мышления» (1854). Он применил к логике методы современной ему алгебры - язык символов и формул, составление и решение уравнений. Им была создана своеобразная алгебра - алгебра логики. В этот период она оформилась, как алгебра высказываний и была значительно развита в работах шотландского логика А. де Моргана (1806-1871 гг.) , английского - У. Джевонса (1835-1882 гг.) , американского - Ч. Пирса и др. Создание алгебры логики явилось заключительным звеном в развитии формальной логики.
Значительный толчок к новому периоду развития математической логики дало создание в первой половине XIX века великим русским математиком Н. И. Лобачевским (1792-1856 гг.) и независимо от него венгерским математиком Я. Бояи (1802-1860 гг.) неевклидовой геометрии. Кроме того, создание анализа бесконечно малых подвело к необходимости обоснования понятия числа как фундаментального понятия всей математики. Довершали картину парадоксы, обнаруженные в конце XIX века в теории множеств: они отчетливо показали, что трудности обоснования математики являются трудностями логического и методологического характера. Таким образом, перед математической логикой встали задачи, которые перед логикой Аристотеля не возникали. В развитии математической логики сформировались три направления обоснования математики, в которых создатели по-разному пытались преодолеть возникшие трудности.
3. Как научиться решать логические задачи?
Многие люди только мыслят, что мыслят.
Им неприятен мыслительный процесс:
для этого нужен навык и известные усилия,
а зачем усилия, когда можно без.
Огден Неш
Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной).
Текстовые логические задачи можно условно разделить на следующие виды:
все высказывания истинны;
не все высказывания истинны;
задачи о правдолюбцах и лжецах.
Желательно отрабатывать решение каждого вида задач постепенно, поэтапно.
Итак, мы узнаем, как разными способами можно решать логические задачи. Оказывается таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. Познакомившись подробно, разберёмся в каких случаях удобнее использовать тот или другой метод.
4. Типы и способы решения логических задач
4.1 Задачи типа «Кто есть кто?»
Задачи типа «Кто есть кто?» очень разнообразны по сложности, содержанию и способности решения. Они, несомненно, представляют интерес.
а) Метод графов
Один из способов – решение с помощью графов. Граф – это несколько точек, часть которых соединены друг с другом отрезками или стрелками (в таком случае граф называется ориентированным). Пусть нам требуется установить соответствие между двумя типами объектов (множествами). Точками обозначаются элементы множеств, а соответствие между ними – отрезками. Штриховой отрезок будет объеденять два элемента, не соответствующих друг другу.
Задача 1 . Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?
Решение. Решить задачу просто, если учесть, что:
Каждому элементу одного множества обязательно соответствует элемент другого множества, но только один
Если элемент каждого множества соединен со всеми элементами (кроме одного) другого множества штриховыми отрезками, то с последним он соединен сплошным отрезком.
Вместо сплошных штриховых отрезков можно использовать цветные, в таком случае решение получается более красочным,
Обозначим на рисунке фамилии девочек буквами Б, Ч, К, соединим пунктирной линией букву Б и белое платье, что будет означать: «Белова не в белом платье». Далее получим еще три пунктирные линии, соответствующие минусам в таблице. Белое платье может быть только на Красновой - букву К и белое платье соединим сплошной линией, что будет означать «Краснова в белом платье», и т.д.
Таким же способом можно находить соответствие между тремя множествами.
Задача 2. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
Решение. Сначала все условия наносятся на схему. Решение же сводится к нахождению трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (рис.2.).
Белов Чернов Рыжов
скульптор скрипач художник
белый черный рыжий
Художник- черноволосый
При решении мы можем получить треугольники трех видов:
а) все стороны являются сплошными отрезками (решение задачи);
б) одна сторона – сплошной отрезок, а другие – штриховые;
в) все стороны – штриховые отрезки.
Таким образом, нельзя получить треугольник, у которого бы две стороны были сплошными отрезками, а третья – штриховой отрезок.
Задача3. Кто где?
Дуб, клен, сосна, береза, пень!
За ними спрятавшись, таятся
Бобр, заяц, белка, рысь, олень.
Кто где? Попробуй разобраться".
Где рысь, ни зайца, ни бобра
Ни слева нет, ни справа - ясно.
И рядом с белкой - вот хитра –
Их также не ищи напрасно.
С оленем рядом рыси нет.
И зайца справа нет и слева.
А белка справа, где олень!
Теперь берись за поиск смело.
И хочет дать тебе совет
Поросший мхом высокий пень:
- Кто где? Напасть на верный след
Помогут белка и олень.
Решение. Найдем ответ с помощью графов, обозначая каждого зверя точкой, а размещение – стрелками. Остается только подсчитать стрелки (рис.)
Рысь Заяц
Белка Заяц Бобр Олень Белка Рысь
Олень Дуб Клен Сосна Береза Пень
бобр
б) Табличный способ
Второй способ решения логических задач – с помощью таблиц – также прост и нагляден, но его можно использовать только в том случае, когда требуется установить соответствие между двумя множествами. Он более удобен, когда множества имеют по пять-шесть элементов.
Задача 4. Однажды на семейном празднике собрались семь супружеских пар. Фамилии мужчин: Владимиров, Федоров, Назаров, Викторов, Степанов, Матвеев и Тарасов. Женщин зовут: Тоня, Люся, Лена, Света, Маша, Оля и Галя.
Решение. Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждого мужчины одна фамилия и одна жена.
Правило 1: В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).
Правило 2: Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».
Начертив таблицу, нужно разместить в ней известные запреты исходя из условия задачи. Заполнив по условию задачи таблицу, сразу получем решения: (рис. 3).
Тоня
Люся
Лена
Света
Маша
Оля
Галя
Владимиров
Федоров
Назаров
Викторов
Степанов
Матвеев
Тарасов
4.2 Тактические задачи
Решение тактических и теоретико-множественных задач заключается в составлении плана действий, который приводит к правильному ответу. Сложность состоит в том, что выбор нужно сделать из очень большого числа вариантов, т.е. эти возможности не известны, их нужно придумать.
а)Задачи на перемещение или правильное размещение фигур можно решать двумя способами: практическим (действия в перемещении фигур, подборе) и мысленном (обдумывание хода, предугадывание результата, предположение решения- метод рассуждений ).
В методе рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.
Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
Задача 5 . Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?
Решение. Составим схему:
Лена Оля Таня
Ответ. Раньше на 1с пришла Лена.
Рассмотрим простую задачу.
Задача6 . Кросс осенний вспоминая, Спорят белки два часа:
Победил в забеге заяц. А второй была лиса!
- Нет, - твердит другая белка,
- Ты мне шутки
Первым был, я помню, - лось!
- Я, - промолвил филин важный,
- В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибке есть.
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им.
Вы уж взвесив все, решите,
Кто был первым, кто вторым.
Решение.
Заяц - 1 2
Лиса - 2
Лось - 1
Если предположить что верное утверждение- заяц пришел 1, то лиса 2 тогда не верно, т.е. во второй группе утверждений остаются оба варианта неверные, но это противоречит условию. Ответ: Лось - 1, Лиса - 2, Заяц - 3.
4.3 Задачи на нахождение пересечения или объединение множеств (круги Эйлера)
Ещё один тип задач – задачи, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объеденение, соблюдая условия задачи.
Решим задачу7:
Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?
Решение. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера
На рисунке большой круг обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М - школьников, собирающих марки.
Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис.). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, - школьники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием.
Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис.).
Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки - 16 школьников, то только значки собирают 23 - 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 - 16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы.
Из рисунка ясно, сколько всего человек занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 - 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также значительно упрощает рассуждения.
4.4 Буквенные ребусы и задачи со звездочками
Методом подбора и рассмотрения различных вариантов решаются буквенные ребусы и примеры со звездочками.
Такие задачи различны по сложности и схеме решения. Рассмотрим один такой пример.
Задача8 Решите числовой ребус
КИС
КСИ
ИСК
Решение. Сумма И
+ С
(в разряде десятков) оканчивается на С, но И ≠ 0 (см. разряд единиц). Значит, И = 9 и 1 десяток в разряде единиц запомнили. Теперь легко найти К в разряде сотен: К = 4. Для С остается одна возможность: С = 5.
4.5 Истинностные задачи
Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовем истинностными задачами.
Задача9 . Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое - нет. Кто из мальчиков разбил стекло?
Решение. Предположим, что Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля - правду. Из их утверждений следует, что стекло разбил Олег.
Задача10 Четыре ученика - Витя, Петя, Юра и Сергей - заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:
а) Петя - второе, Витя - третье;
б) Сергей - второе, Петя - первое;
в) Юра - второе, Витя - четвертое.
Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.
Решение. Предположим, что высказывание «Петя - II» верно, тогда оба высказывания второго человека неверны, а это противоречит условию задачи.
Предположим, что высказывание «Сергей - II» верно, тогда оба высказывания первого человека неверны, а это противоречит условию задачи.
Предположим, что высказывание «Юра - II» верно, тогда первое высказывание первого человека неверно, а второе верно. И первое высказывание второго человека неверно, а второе верно.
Ответ: первое место – Петя, второе место - Юра, третье место - Витя, четвертое место Сергей.
4.6 Задачи типа «Шляпы»
Наиболее известна задача про мудрецов, которым нужно определить цвет шляпы на своей голове. Чтобы решить такую задачу, нужно восстановить цепочку логических рассуждений.
Задача 11 . «Какого цвета береты?».
Три подруги, Аня, Шура и Соня, сидели в амфитеатре одна за другой без биретов. Соне и Шуре нельзя оглядываться назад. Шура видит только голову сидящей ниже ее Сони, а Аня видит головы обеих подруг. Из коробки, в которой находятся 2 белых и 3 черных берета (об этом все три подруги знают), вынули три и надели их на головы, не говоря о том, какого цвета берет; два берета остались в коробке. Когда спросили Аню о цвете берета, который ей надели, она не сумела ответить. Шура слышала ответ Ани и сказала, что она также не может определить цвет своего берета. Может ли Соня на основании ответов своих подруг определить цвет своего берета?
Решение. Рассуждать можно таким образом. Из ответов Ани обе подружки заключили, что они обе не могут иметь на голове двух белых беретов. (Иначе Аня сразу бы сказала, что у нее на голове черный берет). Они имеют либо два черных, либо белый и черный. Однако, если бы на голове Сони был белый берет, то Шура тоже сказала, что не знает, какой у нее берет на голове, то, следовательно, у Сони на голове черный берет.
5. Практическая часть
Исследование уровня логического мышления учащихся среднего звена.
В практической части научно-исследовательской работы я подобрала логические задачи типа: Кто есть кто?
Задачи соответствовали уровню знаний 5-го и 6-го, 7-го и 8-го класса соответственно. Учащиеся решили эти задачи, а я проанализировала полученные результаты. Рассмотрим полученные результаты более подробно.
Для 5-го и 6-го классов были предложены следующие задачи:
Задача1 . Кросс осенний вспоминая, Спорят белки два часа:
Победил в забеге заяц. А второй была лиса!
- Нет, - твердит другая белка,
- Ты мне шутки эти брось. Заяц был вторым, конечно,
Первым был, я помню, - лось!
- Я, - промолвил филин важный,
- В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибке есть.
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им.
Вы уж взвесив все, решите,
Кто был первым, кто вторым.
Задача 2. Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?
Среди учащихся 5 и 6 классов, в количестве 25 человек с предложенными задачами типа "Кто есть кто?" справилось11 человек, среди которых 5 девочек и 6 мальчиков. Результаты решения логических задач учащимися 5,6 классов представлены на рисунке:
Из рисунка видно, что 44% успешно решили обе задачи «Кто есть кто?» С первой задачей справились почти все учащиеся, вторая задача, с применением графов или таблиц вызвала у детей затруднения.
Подводя итог, можно сделать вывод, что с задачами более простыми в целом ученики 5-го и 6-го классов справляются, но если добавляются немного больше элементов в рассуждениях то справляются с такими заданиями не все.
Для 7-го и 8-го классов были предложены следующие задачи:
Задача 1. Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?
Задача 2. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
Задача 3. Однажды на семейном празднике собрались семь супружеских пар. Фамилии мужчин: Владимиров, Федоров, Назаров, Викторов, Степанов, Матвеев и Тарасов. Женщин зовут: Тоня, Люся, Лена, Света, Маша, Оля и Галя. На вечере Владимиров танцевал с Леной и Светой, Назаров - с Машей и Светой, Тарасов - с Леной и Олей, Викторов - с Леной, Степанов - со Светой, Матвеев - с Олей. Затем стали играть в карты. Сперва Викторов и Владимиров играли с Олей и Галей, потом мужчин сменили Степанов и Назаров, а женщины продолжали игру. И, наконец, Степанов и Назаров сыграли одну партию с Тоней и Леной.
Попробуйте определить, кто на ком женат, если известно, что на вечере ни один мужчина не танцевал со своей женой и ни одна супружеская пара не садилась одновременно за стол при игре.
В 7х и 8х классах среди 33-х человек со всеми задачами типа "Кто есть кто?" справились 18 человек, среди которых 8 девочек и 10 мальчиков.
Результаты решения логических задач учащимися 7-го и 8-го классов представлены на рисунке:
Из рисунка видно, что 55 % учащихся справились со всеми задачами, первой задачей -91 %, успешно решили вторую задачу- 67%, и последняя задача оказалась для ребят самой сложной и с нею справилось всего 58% .
Анализируя полученные результаты, в целом можно сказать, что лучше с решением логических задач справились учащиеся 7-го и 8 -го классов. Ученики 5-го и 6-го класса показали хуже результаты, возможно причиной этому является, что для решения данного вида задач требуется хорошее знание математики, ученики 5х классов пока ещё не имеют опыта в решении таких задач.
Также я провела соц. опрос среди учащихся 5-8 классов. Всем задала вопрос: «Какие задачи легче решать: математические или логические? В опросе участвовали 15 человек. 10 человек ответили – математические, 3-логические, 2- никакие не смогут решить. Результат опроса представлен на рисунке:
На рисунке видно, что математические задачи легче решать 67-ми % опрошенных, логические – 20%, и 13% не смогут решить никакую задачу.
6.Заключение
В данной работе Вы познакомились с логическими задачами. С тем, что такое логика. Вашему вниманию были предложены различные логические задачи, которые помогают развивать логическое и образное мышление.
У любого нормального ребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике.
Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях.
Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению.
Также я считаю, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено.
С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и на других предметах.
7. Литература
Дорофеев Г.В. Математика 6 класс.-Просвещение,:2013.
Матвеева Г. Логические задачи // Математика. - 1999. № 25. - С. 4-8.
Орлова Е. Методы решения логических задач и задач на числа //
Математика. - 1999. № 26. - С. 27-29.
4. Шарыгин И.Ф. , Шевкин Е.А. Задачи на смекалку.-Москва,:Просвещение,1996.-65с.
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение -
средняя общеобразовательная школа № 51
г. Оренбург.
Проект на тему:
учитель математики
Егорчева Виктория Андреевна
2017
Гипотеза : Если теорию графов сблизить с практикой, то можно получить самые благотворные результаты.
Цель: Ознакомится с понятием графы и научиться применять их при решении различных задач.
Задачи:
1)Расширить знания о способах построения графов.
2)Выделить типы задач, решение которых требует применения теории графов.
3) Исследовать использование графов в математике.
« Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орёл парит над землёй ».
Доминик Араго.
I . Введение. стр.
II . Основная часть.
1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах. стр.
2. Свойства графов. стр.
3. Задачи с применением теории графов. стр.
Ш. Заключение.
Значение графов. стр.
IV . Список используемой литературы. стр.
I . ВВЕДЕНИЕ.
Теория графов - наука сравнительно молодая. «Графы» имеют корень греческого слова «графо», что значит «пишу». Тот же корень в словах «график», «биография».
В своей работе я рассматриваю, каким образом используется теория графов в различных областях жизни людей. Каждый учитель математики и практически каждый ученик знает, сколько трудностей доставляет решение геометрических задач, а также текстовых задач по алгебре. Исследовав возможность применения теории графов в школьном курсе математики, я пришла к выводу, что эта теория значительно упрощает понимание и решение задач.
II . ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
1. Понятие графа.
Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Она появилась в 1736 году в публикациях Петербургской Академии Наук и начиналась с рассмотрения задачи о кенигсбергских мостах.
Вы наверное, знаете, что есть такой город Калининград, раньше он назывался Кенигсберг. Через город протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров. В 17 веке в городе было семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке.
Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка. Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако придумать решение никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых из многих стран. Разрешить проблему удалось известному математику Леонарду Эйлеру. Леонард Эйлер, уроженец города Базеля родился 15 апреля, 1707 года. Научные заслуги Эйлера огромны. Он оказал влияние на развитие почти всех разделов математики и механики как в области фундаментальных исследований, так и в их приложениях. Леонард Эйлер не только решил эту конкретную задачу, но и придумал общий метод решения этих задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. В результате получилась фигура, изображенная на рисунке.
Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют графом . Точки A , B , C , D называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины - ребра графа. На рисунке из вершин B , C , D выходят по 3 ребра, а из вершины A - 5 ребер. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, а вершины, из которых выходит четное количество ребер, - четными.
2.Свойства графа.
Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа:
1.Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.
2.Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.
3.Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
4.Число нечетных вершин графа всегда четное.
5.Если в графе имеются нечетные вершины, то наименьшее число росчерков, которыми можно нарисовать граф будет равно половине числа нечетных вершин этого графа.
Например, если фигура имеет четыре нечетные, то её можно начертить, самое меньшее, двумя росчерками.
В задаче о семи кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.
3.Решение задач с помощью графов.
1. Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.
Попытки нарисовать одним росчерком пера каждую из следующих фигур приводят к неодинаковым результатам.
Если нечетных точек в фигуре нет, то она всегда поддается вырисовыванию одним росчерком пера, безразлично, с какого места ни начинать черчение. Таковы фигуры 1 и 5.
Если в фигуре имеется только одна пара нечетных точек, то такую фигуру можно нарисовать одним росчерком, начав черчение в одной из нечетных точек (безразлично в какой). Легко сообразить, что вычерчивание должно оканчиваться во второй нечетной точке. Таковы фигуры 2, 3, 6. В фигуре 6, например, вычерчивание надо начинать либо из точки А, либо из точки В.
Если фигура имеет более одной пары нечетных точек, то она вовсе не может быть нарисована одним росчерком. Таковы фигуры 4 и 7, содержащие по две пары нечетных точек. Сказанного достаточно, чтобы безошибочно распознавать, какие фигуры нельзя нарисовать одним росчерком и какие можно, а также, с какой точки надо начинать вычерчивание.
Предлагаю начертить одним росчерком следующие фигуры.
2. Решение логических задач.
ЗАДАЧА №1.
В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис - с Андреем, Галиной; Виктор - с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина - с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько ещё осталось?
РЕШЕНИЕ:
Построим граф как показано на рисунке.
Сыграно 7 игр.
На этом рисунке граф имеет 8 ребер, следовательно, осталось провести 8 игр.
ЗАДАЧА №2
Во дворе, который окружен высоким забором, находятся три домика: красный, желтый и синий. В заборе есть три калитки: красная, желтая и синяя. От красного домика проведите дорожку к красной калитке, от желтого домика - к желтой калитке, от синего - к синей так, чтобы эти дорожки не пересекались.
РЕШЕНИЕ:
Решение задачи приведено на рисунке.
3. Решение текстовых задач.
Для решения задач методом графов надо знать следующий алгоритм:
1.О каком процессе идет речь в задаче?
2.Какие величины характеризуют этот процесс?
3.Каким соотношением связаны эти величины?
4.Сколько различных процессов описывается в задаче?
5.Есть ли связь между элементами?
Отвечая на эти вопросы, анализируем условие задачи и записываем его схематично.
Например . Автобус шёл 2 ч со скоростью 45 км/ч и 3 ч со скоростью 60 км/ч. Какой путь прошёл автобус за эти 5 часов?
S
¹=90 км
V
¹=45 км/ч
t
¹=2ч
S = VT
S ²=180 км V ²=60 км/ч t ²=3 ч
S ¹ + S ² = 90 + 180
Решение:
1)45 x 2 = 90 (км) - прошёл автобус за 2 ч.
2)60 x 3 = 180 (км) - прошёл автобус за 3 ч.
3)90 + 180 = 270 (км) -прошёл автобус за 5 ч.
Ответ: 270 км.
III . ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В результате работы над проектом я узнала, что Леонард Эйлер был основоположником теории графов, решил задачи с применением теории графов. Для себя сделала вывод, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений. Не приходится сомневаться в полезности ознакомления нас, учащихся, с основными понятиями теории графов. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность. Многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если воспользоваться графами. В особенности это относится к таким областям математики, как математическая логика, комбинаторика.
Таким образом, изучение этой темы имеет большое общеобразовательное, общекультурное и общематематическое значение. В повседневной жизни все большее применение находят графические иллюстрации, геометрические представления и другие приемы и методы наглядности. С этой целью изучения элементов теории графов полезно ввести в начальном и среднем звене школы, хотя бы во внеклассной работе, так как в программу по математике эта тема не включена.
V . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
2008г.
Рецензия.
Проект на тему «Графы вокруг нас» выполнил ученик 7 «А» класса МОУ-сош №3г.Красный Кут Зайцев Никита.
Отличительной особенностью работы Зайцева Никиты является её актуальность, практическая направленность, глубина раскрытия темы, возможность использования её в дальнейшем.
Работа является творческой, в виде информационного проекта. Ученик выбрал эту тему, чтобы показать взаимосвязь теории графов с практикой на примере маршрута школьного автобуса, показать, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений, в особенности это относится к экономике, математической логике, комбинаторике. Он показал, что решение задач значительно упрощается, если удается использовать графы, представление данных в виде графа придает им наглядность, многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность.
В работе рассматриваются такие вопросы как:
1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах.
2. Свойства графов.
3. Задачи с применением теории графов.
4. Значение графов.
5. Вариант маршрута школьного автобуса.
При выполнении своей работы Зайцев Н. использовал:
1. Альхова З.Н., Макеева А.В. «Внеклассная работа по математике».
2. Журнал «Математика в школе». Приложение «Первое сентября» № 13
2008г.
3. Я.И.Перельман «Занимательные задачи и опыты».- Москва: Просвещение, 2000 г.
Работа выполнена грамотно, материал соответствует требованиям данной темы, соответствующие рисунки прилагаются.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Досчатинская средняя школа
городского округа г. Выкса Нижегородской области
Решение логических задач.
Физико-математическое отделение
Секция математическая
Работу выполнил:
ученица 5 класса
Папотина Елена Сергеевна
научный руководитель:
учитель МБОУ Досчатинская СШ
Рощина Людмила Валерьевна
Нижегородская область
р/п Досчатое
2016г.
Аннотация
Цель данной работы выявить умения рассуждать и делать правильные выводы, при решении логических задач. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику. В работе поставлены следующие задачи:
1) ознакомление с понятиями «логика» и «математическая логика»;
2) изучение основных методов решения логических задач;
3) изучение умения решать логические задачи учащимися 5-7 класса.
Методами исследования данной работы являются:
Сбор и изучение информации.
Обобщение экспериментального и теоретического материала.
Гипотеза : учащиеся нашей школы умеют решать логические задачи.
В ходе написания работы были исследованы типы и способы решения логических задач. Была проведена практическая работа с учениками среднего звена, на то, как они умеют решать логические задачи. Результаты работы показали, что не все учащиеся могут справиться с логическими задачами. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике. Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях.
Этот метод является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера-Венна, задачи, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи . Разберем пример применения данного метода.
Решим задачу 6:
Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?
Решение. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера
На рисунке большой круг обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М - школьников, собирающих марки.
Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис.). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, - школьники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием.
Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис.).
Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки - 16 школьников, то только значки собирают 23 - 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 - 16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы.
Из рисунка ясно, сколько всего человек занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 - 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также значительно упрощает рассуждения.
Решение. Оформим решение в виде блок схемы:
Ответ: 18 вариантов.
Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовем истинностными задачами.
Задача 7 . Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое - нет. Кто из мальчиков разбил стекло?
Решение. Предположим, что Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля - правду. Из их утверждений следует, что стекло разбил Олег.
Задача 8. Четыре ученика - Витя, Петя, Юра и Сергей - заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:
а) Петя - второе, Витя - третье;
б) Сергей - второе, Петя - первое;
в) Юра - второе, Витя - четвертое.
Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.
Решение. Предположим, что высказывание «Петя - II» верно, тогда оба высказывания второго человека неверны, а это противоречит условию задачи. Предположим, что высказывание «Сергей - II» верно, тогда оба высказывания первого человека неверны, а это противоречит условию задачи. Предположим, что высказывание «Юра - II» верно, тогда первое высказывание первого человека неверно, а второе верно. И первое высказывание второго человека неверно, а второе верно.
Ответ: первое место – Петя, второе место - Юра, третье место - Витя, четвертое место Сергей.
Есть такой вид логических задач, которые решаются с конца. Рассмотрим пример решения таких задач.
Задача 9. Вася задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое чило задумал Вася.
Решение: 2·7=14
14+6=20
20˸4=5
5·3=15
15-5=10
Ответ: Вася задумал число 10.
В практической части научно-исследовательской работы я подобрала логические задачи типа: задачи, решаемые с конца; кто есть кто?; текстовые задачи.
Задачи соответствовали уровню знаний 5-го, 6-го и 7-го класса соответственно. Учащиеся решили эти задачи, а я проанализировала полученные результаты (рис. 1). Рассмотрим полученные результаты более подробно.
*Для 5-го класса были предложены следующие задачи:
Задача №1. Задача, решаемая с конца.
Я задумала число, умножила его на два, прибавила три и получила 17. Какое число я задумала?
Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»
Катя, Соня и Лиза имеют фамилию Васнецова, Ермолаева и Кузнецова. Какую фамилию имеет каждая девочка, если Соня, Лиза и Ермолаева - члены математического кружка, а Лиза и Кузнецова занимаются музыкой?
Задача №3. Текстовая задача.
В школьной спортивной олимпиаде участвовало 124 человека из них мальчиков на 32 больше, чем девочек. Сколько мальчиков и девочек участвовало в олимпиаде.
С задачей типа: «решаемая с конца», справились большинство учащиеся пятых классов. Такие задачи встречаются в учебниках 5-6 классов. С типом тектовых задач, эта задачи более сложные, над ней надо было порассуждать, с ней справились лишь 5 человек. (рис.2)
*Для 6-го класса были предложены следующие задачи:
Задача №1. Задача, решаемая с конца.
Я задумал число, отнял 57, разделил на 2 и получил 27. Какое число я задумал?
Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»
Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее:
Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором.
Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника.
Стрелок хочет пригласить в гости Атоса.
Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией.
Кто чем занимается?
Задача №3. Текстовая задача. На одной полке в 5 раз больше книг, чем на второй. После того как с первой полки переложили на вторую 12 книг, на полках книг стало поровну. Сколько книг было первоначально на каждой полке?
Среди учащихся 6-х классов, в количестве 18 человек, справились со всеми задачами 1 человек. С задачей типа: «решаемая с конца» справились все учащиеся 6-ого класса. С задачей №2 , типа «Кто есть кто?» справились 4 человека. С текстовой задачей справился лишь один человек (рис.3).
*Для 7-го класса были предложены следующие задачи:
Задача №1. Задача, решаемая с конца.
Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.
Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»
Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии начинающееся на буквы В, П, С, и К. Известно, что 1) Ваня и С. – отличники; 2) Петя и В. – троечники; 3) В ростом выше П.; 4) Коля ростом ниже П.; 5) Саша и Петя имеют одинаковый рост. На какую букву начинаются фамилии каждого?
Задача №3. Метод рассуждений.
Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду еще 4-х маляров, а двух плотников перевел на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально?
Среди учащихся 7-х классов, в количестве 20 человек, справились со всеми задачами 1 человек. С задачей типа: «рещаемая с конца» справились 13 учащиеся. С текстовой задачей справился один ученик (рис.4).
В ходе исследовательской работы по изучению методов решения логических задач. Поставленные мной цель и задачи считаю выполненными. В первой главе я ознакомилась с понятием логики, как науки, основными этапами её развития и учеными, которые являются её основоположниками. Во-второй главе я изучила различные методы решения логических задач и разобрала их на конкретных примерах. Мной были рассмотрены следующие методы: м етод рассуждений, метод таблиц, метод графов, метод блок-схем, метод кругов Эйлера, истинностные задачи, метод решения задачи с конца. В третьей главе провела практическое исследование среди учеников 5-7 классов, проверив их умения решать логические задачи. Проведенные мною исследования показали следующее. С задачами которые справились большинство учеников, это задачи, решаемые с конца. С задачей «Кто есть кто?» (метод таблиц) справились половина учащихся. Текстовую задачу (метод рассуждений) решили лишь наименьшее количество человек. Я считаю, что моя гипотеза подтвердилась частично, так как половина учащимся тяжело далось решение логических задач.
Логические задачи помогают развивать логическое и образное мышление. У любого нормального ребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике. Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях. Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению. Также я считаю, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено. С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и на других предметах.
Виленкин Н.Я. Математика 5класс.-Мнемозина, М:2015. 45 стр.
Виленкин Н.Я. Математика 5класс.-Мнемозина, М:2015. 211 стр.
Орлова Е. Методы решения логических задач и задач на числа //
Математика. -1999. № 26. - С. 27-29.
Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук –Москва,: 1948г.
Интернет-ресурсы:
http:// wiki . iteach .
Рис. 3 Анализ работ 6-ого класса.
Рис. 4 Анализ работ 7-го класса
Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство образования Оренбургской области
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
«Орский машиностроительный колледж»
г.Орска Оренбургской области
Исследовательская работа
по математике
«
МАТЕМАТИКА БЕЗ
ФОРМУЛ, УРАВНЕНИЙ И
НЕРАВЕНСТВ
»
Подготовила
:
Тхорик Екатерина
,
студента группы
15ЛП
Руководитель:
Марченко О.В
.,
преподаватель мате
матики
Математика
–
это особый мир, в котором ведущую роль играют формулы,
символы и геометрические объекты. В исследовательской р
аботе мы решили
узнать, что произойдет, если из математики убрать формулы, уравнения и
неравенства?
Актуальность данного исследования состоит в том, что
с каждым годом
теряется интерес к математике. Не любят математику, прежде всего из
-
за формул.
В данной
работе мы хотим не только показать красоту математики, но и
преодолеть в сознании обучающихся возникающие представления о «сухости»,
формальном характере, оторванности этой науки от жизни и практики.
Цель работы: доказать, что математика останется полноц
енной наукой, при
этом интересной и многогранной, если из нее убрать формулы, уравнения и
неравенства.
Задачи работы:
показать, что математик
а
без формул, уравнений и
неравенств
является полноценной наукой
; провести опрос
обу
ча
ю
щихся; изучить
информационны
е источники; познакомится с основными способами решения
логических задач.
Если предположить, что математические формулы
-
лишь удобный язык
для изложения идей и методов математики, то сами эти идеи можно описать,
используя привычные и наглядные образы из о
кружающей жизни.
Объектом нашего исследования стали способы решения математических
задач без формул, уравнений и неравенств.
Студентам нашего колледжа было предложено ответить на вопрос: что
станет с математикой, если из нее убрать формулы, уравнения и не
равенства?
выбрав один ответ из следующих вариантов:
а) останутся числа, цифры, буквы б) останется только теория
в) останутся теоремы и доказательства г) останутся графики
д) математика станет литературой ж) ничего не останется
Результаты этого
опроса показали, что большинство студентов уверены, без
формул, уравнений и неравенств математика станет литературой. Мы решили
опровергнуть это мнение. Без формул, уравнений и неравенств в математике, в
первую очередь, останутся логические задачи, которы
е чаще всего составляют
большую часть заданий на олимпиаде по математике. Разнообразие логических
задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее
распространение получили следующие: метод рассуждения, метод таблиц, метод
графов, круги Эй
лера, метод блок
-
схем.
Способ рассуждений
самый примитивный способ. Этим способом
решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы
проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и
приходим к выводу, который и
будет являться ответом задачи.
Этим способом
обычно решают несложные логические задачи.
Основной прием, который используется при решении текстовых логических
задач, заключается в
построении таблиц
. Таблицы не только позволяют наглядно
представить условие з
адачи или ее ответ, но в значительной степени помогают
делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.
Метод графов.
Граф
-
это совокупность объектов со связями между ними.
Объекты представляются как вершины, или узлы графа (они обозначаются
то
чками), а связи
-
как дуги, или рёбра. Если связь однонаправленная
обозначается на схеме линиями со стрелками, если связь между объектами
двусторонняя обозначается на схеме линиями без стрелок.
Метод кругов Эйлера.
Диаграммы Эйлера используются при решении
большой группы логических задач. Условно все эти задачи можно разделить на три
типа. В задачах первого типа необходимо символически выразить мно
жества,
заштрихованные на диаграммах Эйлера, используя зна
ки операций пересечения,
объединения и дополнения.
В задачах второго типа диаграммы Эйлера
применяются для анализа ситуаций, связанных с определением класса. Третий тип
задач, при решении которых используются диаграммы Эйлера,
-
задачи на
логический счет.
Метод блок
-
схем
.
Этот вид решения логических задач
входит в курс
обучения учеников общеобразовательных учреждений по курсу информатики.
Программирование на языке
Pascal
.
Кроме логических задач в математике п
орой для решения простых
математических задач приходится совершать абсурдные вещи, выходящие за
ра
мки нашей логики, нашего мышления.
Абсурд
–
в математике и логике,
обозначает, что какой
-
то элемент не имеет никакого смысла в рамках данной
теории,
системы или
поля, принципиально несовместимый с ними, хотя элемент,
который является абсурдом в данной сист
еме, может иметь смысл в другой.
В математике в отдельную группу выделяют софизмы (мастерство, умение)
-
сложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении
кажется правильным.
Без формул в математике может возникнуть ситуация, ко
торая может
существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Такая ситуация
называется парадоксом. Возникновение парадоксов не является чем
-
то
незакономерным, неожиданным, случайным в истории развития научного
мышления. Их появление сигнализи
рует о необходимости пересмотра прежних
теоретических представлений, выдвижения более адекватных понятий, принципов
и методов исследования.
Мир такой науки, как математика, не исчерпывается только лишь решением
особого вида задач. Помимо всех трудностей, в
ней есть прекрасное и интересное,
порой даже смешное. Математический юмор, также как и математический мир,
утонченный и особый.
Таким образом, без формул, уравнений и неравенств математика останется
полноценной наукой, при этом интересной и многогранной.
Библиографический список.
Агафонова, И. Г. Учимся думать: Занимательные логические задачи,
тесты и упражнения для детей. Учебное пособие [Текс] /
И. Г. Агафонова
СПб.
ИКФ МиМ
–
экспресс,1996.
–
Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задач
и по
математике
[Текс]
/ Э.Н. Балаян.
-
3
-
е изд.
-
Ростов н/Д: Феникс, 2008.
-
Фарков, А. В. Математические олимпиады в школе. 5
-
11 классы.
[Текс]/
А. В. Фарков.
-
8
-
е изд., испр. и доп.
-
М.: Айрис
-
пресс, 2009.
-
http://www.arhimedes.org/
Турнир им. М. В. Ломоносова (г. Москва)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/
Приложенные файлы
Я стал для некоторых евреев чуть ли не враг №1. К счастью, я враг только для некоторых евреев, но не для всех. Эти некоторые (я называю их жидами) невзлюбили меня за то, что я пишу правду, несмотря ни на что и ни на кого! Этой своей правдой я разоблачаю р
Едва ли не самый важный вопрос, который волнует, как работника, так и работодателя, – это начисление зарплаты. Если работодатель где-то ошибется и недоплатит работнику, у него могут возникнуть серьезные проблемы с трудовой комиссией и налоговой службой, а
Каждая организация, на складах которой есть товарно-материальные ценности, регулярно проводит инвентаризацию. При этом могут выявиться отклонения по количеству той или иной номенклатуры как в большую, так и в меньшую сторону. Привести фактические значения
Пошаговый рецепт горбуши запеченной со скумбрией с фото. Национальная кухня: Домашняя кухня Тип блюда: Закуски Сложность рецепта: Простой рецепт Время подготовки: 20 минутВремя приготовления: свыше 2 часов Количество порций: 10 порций Количество калории
Детство, биография Дугласа Бута Английский актер Дуглас Джон Бут родился 9 июля 1992 года в Лондоне, Великобритания. По знаку зодиака рак. Отец актера, Сайман Бут, является коренным англичанином, работает в сфере логистики. Мать Дугласа, Вивьен Бут, – из
Здравствуйте! Сегодня я, любитель выпечки и сладкоежка со стажем, хочу рассказать о таком прекрасном виде десертов, как выпечка с медом, как и многие уже рассмотренные нами рецепты, готовится эта выпечка медовая достаточно просто, а тесто получается нежны